第四章 向量空间
4.1 向量空间与子空间
向量空间：一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合$V$，在这个集合上定义两个运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公理（或法则），这些公理必须对$V$，中所有向量$u,v,w$及所有标量$c$和$d$均成立.
- $u,v$之和表示为$u+v$，仍在$V$中.
- $u+v=v+u$.
- $(u+v)+w=u+(v+w)$.
- $V$中存在一个零向量0，使得$u+0=u$.
- 对$V$中每个向量$u$，存在$V$中向量$-u$，使得$u+(-u)=0$.
- $u$与标量$c$的标量乘法记为$cu$，仍在$V$中.
- $c(u+v)=cu+cv$.
- $(c+d)u=cu+du$.
- $c(du)=(cd)u$.
- $1u=u$.
子空间：向量空间$V$的一个子空间是$V$的一个满足以下三个性质的子集$H$：（2.8节有涉及）
- $V$中的零向量在$H$中.
- $H$对向量加法封闭，即对$H$中任意向量$u,v$，和$u+v$仍在$H$中.
- $H$对标量乘法封闭，即对$H$中任意向量$u$和任意标量$c$，向量$cu$仍在$H$中.
线性组合：线性组合表示一些向量的任意标量乘法之和.
若$v_1,\cdots ,v_p$在向量空间$V$中，则$ Span\begin{Bmatrix}v_1,\cdots ,v_p\end{Bmatrix}$是$V$的一个子空间.
$ Span\begin{Bmatrix}v_1,\cdots ,v_p\end{Bmatrix}$是由$\begin{Bmatrix}v_1,\cdots ,v_p\end{Bmatrix}$生成（或张成）的子空间，任给$V$的子空间$H$，$H$的生成（或张成）集是集合$\begin{Bmatrix}v_1,\cdots ,v_p\end{Bmatrix}\subset H$，使得$H= Span\begin{Bmatrix}v_1,\cdots ,v_p\end{Bmatrix}$.
4.2 零空间、列空间和线性变换
零空间：（2.8节）
列空间：（2.8节）
线性变换：（1.8节）
线性变换$T$的核（或零空间）是$V$中所有满足$T(u)=0$的向量$u$的集合.
4.3 线性无关集和基
线性相关：（1.7节）
基：（2.8节和2.9节）
生成集定理：令$S=Span\begin{Bmatrix}v_1,\cdots ,v_p\end{Bmatrix}$是$V$中的向量集，$H=Span\begin{Bmatrix}v_1,\cdots ,v_p\end{Bmatrix}$.
- 若$S$中某一个向量，比如说$v_k$，是$S$中其余向量的线性组合，则$S$中去掉$v_k$后形成的集合仍然可以生成$H$.
- 若$H\neq \begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}$，则$S$的某一子集是$H$的一个基.
矩阵$A$的主元列构成$ColA$的一个基.
基是一个尽可能小的生成集，还是一个尽可能大的线性无关集.
4.4 坐标系
唯一表示定理：令$ß={b_1,\cdots ,b_n}$是向量空间$V$的一个基，则对$V$中每个向量$x$，存在唯一的一组数$c_1,\cdots ,c_n$使得$x=c_1b_1+\cdots +c_nb_n$.
假设集合$ß=\begin{Bmatrix}b_1,\cdots ,b_n\end{Bmatrix}$是$V$的一个基，$x$在$V$中，$x$相对于基$ß$的坐标（或$x$的$ß$-坐标）是使得$x=c_1b_1+\cdots +c_nb_n$的权$c_1,\cdots ,c_n$.若$c_1,\cdots ,c_n$是$x$的$ß$-坐标，则$\mathbb{R}^{n}$中的向量是$x$（相对于$ß$）的坐标向量，或$x$的$ß$-坐标向量，映射$x\mapsto \left [ x \right ]_ß$称为（由ß确定的）坐标映射.
坐标映射：令$ß=\begin{Bmatrix}b_1,\cdots ,b_n\end{Bmatrix}$是向量空间$V$的一个基，则坐标映射$x\mapsto \left [ x \right ]_ß$是一个由$V$映上到$\mathbb{R}^{n}$的一对一的线性变换.
4.5 向量空间的维数
若向量空间$V$具有一组基$ß=\begin{Bmatrix}b_1,\cdots ,b_n\end{Bmatrix}$，则$V$中任意包含多于$n$个向量的集合一定线性相关.
若向量空间$V$有一组基含有$n$个向量的基，则$V$的每一组基一定恰好含有$n$个向量.
若$V$由一个有限集生成，则$V$称为有限维的，$V$的维数写成$dimV$，是$V$的基中有向量的个数，零向量空间$\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}$的维数定义为零，如果$V$不是由一个有限集生成，则$V$称为无穷维的.
令$H$是有限维向量空间$V$的子空间，若有需要的话，$H$中任一个线性无关集均可以扩充成为$H$的一个基，$H$也是有限维的并且$dimH\leqslant dimV$.
基定理：（2.9节）
$NulA$和$ColA$的维数：（2.9节）
4.6 秩
行空间：若$A$是一个$m×n$矩阵，$A$的每一行具有$n$个数字，即可以视为$\mathbb{R}^{n}$中一个向量，其行向量的所有线性组合的集合称为$A$的行空间，记为$Row\,A$.由于每一行具有$n$个数，所以$Row\,A$是$\mathbb{R}^{n}$的一个子空间.因为$A$的行与$A^T$的列相同，也可用$ColA^T$代替$Row\,A$.
若两个矩阵$A$和$B$行等价，则它们的行空间相同.若$B$是阶梯形矩阵，则$B$的非零行构成$A$的行空间的一个基同时也是$B$的行空间的一个基.
行变换对矩阵的行不保持线性相关关系。
秩定理：（2.9节）
4.7 基的变换
设$ß=\begin{Bmatrix}b_1,\cdots ,b_n\end{Bmatrix}$和$C=\begin{Bmatrix}c_1,\cdots ,c_n\end{Bmatrix}$是向量空间$V$的基，则存在一个$n×n$矩阵$\underset{C\leftarrow ß}{P}$使得$\left [ x \right ]_C=\underset{C\leftarrow ß}{P}\left [ x \right ]_ß$. $\underset{C\leftarrow ß}{P}$的列是基ß中向量的$C$-坐标向量，即$\underset{C\leftarrow ß}{P}=\left [ \left [ b_1 \right ]_C\,\left [ b_2 \right ]_C\, \cdots \left [ b_n \right ]_C \right ]$. $\underset{C\leftarrow ß}{P}$称为由$ß$到$C$的坐标变换矩阵.
4.8 差分方程中的应用
线性差分方程：给定数量$a_0,\cdots a_n$,$a_0$和$a_n$不为零，给定一个信号$\begin{Bmatrix}z_k\end{Bmatrix}$,方程$a_0y_{k+n}+a_1y_{k+n-1}+\cdots +a_{n-1}y_{k+1}+a_ny_k=z_k$(对所有$k$成立)称为一个$n$阶线性差分方程（或线性递归关系）.为了简化，$a_0$通常取为1.若$\begin{Bmatrix}z_k\end{Bmatrix}$是零序列，则方程是齐次的；否则，方程为非齐次的.
线性差分方程的解集：若$a_n\neq 0$且$\begin{Bmatrix}z_k\end{Bmatrix}$给定，只要$y_0,\cdots ,y_{n-1}$给定，方程$y_{k+n}+a_1y_{k+n-1}+\cdots +a_{n-1}y_{k+1}+a_ny_k=z_k$(对所有$k$成立)有唯一解.
$n$阶齐次线性差分方程$y_{k+n}+a_1y_{k+n-1}+\cdots +a_{n-1}y_{k+1}+a_ny_k=0$(对所有$k$成立)的解集$H$是一个$n$维向量空间.
研究$n$阶齐次线性差分方程的现代方法是用等价的一阶差分方程组代替它。（1.10节）
4.9 马尔科夫链中的应用
一个具有非负向量且各分量的数值相加等于1的向量称为概率向量；随机矩阵是各列向量均为概率向量；马尔科夫链是一个概率向量序列$x_0,x_1,x_2,\cdots $和一个随机矩阵$P$，使得$x_1=Px_0,x_2=Px_1,x_3=Px_2,\cdots $. 于是马尔科夫链可用一阶差分方程来刻画：$x_{k+1}=Px_k,k=0,1,2\cdots $. 当向量在$\mathbb{R}^{n}$中的一个马尔科夫链描述一个系统或实验的序列时，$x_k$中的数值分别列出系统在$n$个可能状态中的概率，或实验结果是$n$个可能结果之一的概率.因此，$x_k$通常称为状态向量.
稳态向量：若$P$是一个随机矩阵，则相对于$P$的稳态向量（或平衡向量）是一个满足$Pq=q$的概率$q$. 可以证明每一个随机矩阵有一个稳态向量.
如果矩阵的某次幂$P^k$仅包含正的数值，则这一个随机矩阵是正则的，故$P$是一个正规随机矩阵.($x_k=P^kx_0$)
若$P$是一个$n×n$正规的随机矩阵，则$P$具有唯一的稳态向量$q$.进一步，若$x_0$是任一个起始状态，且$x_{k+!}=Px_k$，$k=0,1,2,\cdots $，则当$k\rightarrow \infty $时，马尔科夫链$\begin{Bmatrix}x_k\end{Bmatrix}$收敛到$q$.
