第三章 行列式
3.1 行列式介绍
当$n\geqslant 2$，$n×n$矩阵$A=[a_{ij}]$的行列式是形如$\pm a_{ij}detA_{ij}$的$n$个项的和，其中加号和减号交替出现，这里元素$a_{11},a_{12},\cdots a_{1n}$来自$A$的第一行，即.（余子式$A_{ij}$表示通过划掉$A$中第$i$行和第$j$列而得到的子矩阵）
$n×n$矩阵$A$的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算.按第$i$行展开用代数余子式$C_{ij}=(-1)^{i+j}detA_{ij}$式给出的余因子写法可以写成：，按第$j$列的余因子展开式为.(方便计算)
余子式和代数余子式的区别：在数值上，二者的区别在于，余子式只计算去掉某行某列之后剩余行列式的值，而代数余子式则需要考虑去掉的这一个元素对最后值正负所产生的影响。（来自维基百科）
若$A$为三角阵，则$detA$等于$A$的主对角线上元素的乘积.
3.2 行列式的性质
行变换：令$A$是一个方阵.
- 若$A$的某一行的倍数加到另一行得矩阵$B$，则$detB=detA$.
- 若$A$的两行互换得矩阵$B$，则$detB=-detA$.
- 若$A$的某行乘以$k$倍得到矩阵$B$，则$detB=k\cdot detA$.
方阵$A$是可逆的当且仅当$detA\neq 0$.
若$A$为一个$n×n$矩阵，则$detA^{T}=detA$.
乘法的性质：若$A$和$B$均为$n×n$矩阵，则$detAB=(detA)(detB)$.
3.3 克拉默法则、体积和线性变换
克拉默法则：设$A$是一个可逆的$n×n$矩阵，对$\mathbb{R}^{n}$中任意向量$b$，方程$Ax=b$的唯一解可由下式给出.（令$A_i(b)$表示$A$中第$i$列由向量$b$替换得到的矩阵$A_i(b)=[a_1\,\cdots \,b\,\cdots \, a_n]$）
逆矩阵公式：$A$是一个可逆的$n×n$矩阵，则$A^{-1}=\frac{1}{detA}adj\,A$.（$adj\,A$是$A$的伴随矩阵，伴随矩阵是$A$的余因子（代数余子式）的矩阵$(C_{ij})i,j$的转置。
用行列式表示面积或体积：若$A$是一个$2×2$矩阵，则由$A$的列确定的平行四边形的面积为$\mid detA\mid $，若$A$是一个$3×3$矩阵，则由$A$的列确定的平行六面体的体积为$\mid detA\mid $.
设$T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$是由一个$2×2$矩阵$A$确定的线性变换，若$S$是$\mathbb{R}^{2}$中一个平行四边形，则$\begin{Bmatrix}\text{T(S)的面积} \end{Bmatrix}=\mid det\,A\mid \cdot \begin{Bmatrix}\text{S的面积} \end{Bmatrix}$.若$T$是一个由$3×3$矩阵$A$确定的线性变换，而$S$是$\mathbb{R}^{3}$中的一个平行六面体，则$\begin{Bmatrix}\text{T(S)的体积} \end{Bmatrix}=\mid det\,A\mid \cdot \begin{Bmatrix}\text{S的体积} \end{Bmatrix}$.
