Logistic回归
Logistic回归概述
回归：假设现在有一些数据点，用一条直线对这些点进行拟合（该线称为最佳拟合直线），这个拟合过程就称作回归
Logistic回归：根据现有数据对分类分类边界线建立回归公式，以此进行分类
优点：计算代价不高，易于理解和实现
缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高
适用数据类型：数值型和标称型数据
首先，我们来确定分类器的函数形式。我们想要的函数是能接受所有的输入然后预测出类别。例如：在两个类的情况下，函数输出0或1。拥有这种性质的函数叫做海维塞德阶跃函数（单位阶跃函数）。但是这个函数很难处理从0跳跃到1的的过程。因而，我们使用Sigmoid函数。这个函数的公式为
。这个函数是预测函数。
接下来，我们需要确定决策边界。在本章中我们只讨论线性边界。线性边界的公式是
。如果采用向量的形式还可以写成
。这个线性边界将作为输入代入预测函数中的z。其中，向量x是输入数据，向量w是我们要找的最佳参数。要找到最佳参数，需要用到最优化理论。在本章中使用的是梯度上升法，它是最优化算法法中的一种。书上对该算法的数学原理讲得并不多，这篇【机器学习笔记1】Logistic回归总结讲得很好，在这里我就不再赘述。
训练算法：使用梯度上升找到最佳参数
import numpy as np
def loadDataSet():
dataMat = []; labelMat = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])#x_0为1
labelMat.append(int(lineArr[2])) #类别
return dataMat,labelMat
def sigmoid(inX):
return 1.0/(1+np.exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = np.mat(dataMatIn) #列表矩阵化
labelMat = np.mat(classLabels).transpose() #矩阵化后转置
m,n = np.shape(dataMatrix) #形状
alpha = 0.001 #向目标移动的步长
maxCycles = 500 #迭代次数
weights = np.ones((n,1)) #回归系数初始化为1
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix*weights) #预测值
error = (labelMat - h) #真实类别与预测类别的差值
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error
return weights #最佳参数
dataArr,labelMat = loadDataSet()
gradAscent(dataArr,labelMat)
分析数据：画出决策边界
def plotBestFit(weights):
import matplotlib.pyplot as plt
dataMat,labelMat=loadDataSet()
dataArr = np.array(dataMat)
n = np.shape(dataArr)[0]
xcord1 = []; ycord1 = []
xcord2 = []; ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i])== 1:
xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
print(y)
ax.plot(x, y)
plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
plt.show()
weights = gradAscent(dataArr,labelMat)
plotBestFit(weights.getA())
训练算法：随机梯度上升
由于梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集，计算复杂度太高。因而需要改进算法，我们的改进算法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度上升算法。由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因而随机梯度上升算法是一个在线学习算法。与在线学习算法相对应的是批处理，批处理是一次处理所有数据。
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
m,n = np.shape(dataMatrix)
alpha = 0.01
weights = np.ones(n)
for i in range(m):
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
error = classLabels[i] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
return weights
dataArr,labelMat = loadDataSet()
weights = stocGradAscent0(np.array(dataArr),labelMat)
print(weights)
判断一个算法的优劣的可靠办法是看它是否收敛，在这里就是观察参数是否达到了稳定值。我们发现，参数在经历和梯度上升算法同样次数的迭代后，大的波动停止，但依然有一些小的周期性波动。这是因为存在一些不能正确分类的样本点。
我们期望算法能够收敛到某个值，同时收敛速度得到提升。下面是对随机梯度上升算法的改进。
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150): #默认迭代次数是150次
import random
m,n = np.shape(dataMatrix)
weights = np.ones(n)
for j in range(numIter):
dataIndex = list(range(m))
for i in range(m):
alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001 #步长不断减小以此缓解高频波动
randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#建设周期性波动
h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
error = classLabels[randIndex] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
del(dataIndex[randIndex])
return weights
weights = stocGradAscent1(np.array(dataArr),labelMat)
print(weights)
示例：从疝气病症预测病马的死亡率
准备数据：处理数据中的缺失值
处理数据缺失值的方法：
- 使用可用特征的均值来填补缺失值
- 使用特殊值来填补缺失值，如：-1
- 忽略有缺失值的样本
- 使用相似样本的均值添补缺失值
- 使用另外的机器学习算法预测缺失值
该案例中将使用0来替换所有的缺失值。因为缺失值为0，特征的系数就不会更新，不会影响系数的值。而且sigmoid(0)=0.5，对结果的预测不具有任何倾向性，对误差也不造成任何影响。此外，数据集中的特征取值一般不为0，所以它满足特殊值这个要求。
但是，如果类别标签缺失，我们将选择丢弃该数据。当然，这只是对Logistic回归而言。
测试算法：用Logistic回归进行分类
def colicTest():
frTrain = open('horseColicTraining.txt'); frTest = open('horseColicTest.txt')
trainingSet = []; trainingLabels = []
for line in frTrain.readlines():
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr =[]
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
trainingSet.append(lineArr)
trainingLabels.append(float(currLine[21]))
trainWeights = stocGradAscent1(np.array(trainingSet), trainingLabels, 1000)
errorCount = 0; numTestVec = 0.0
for line in frTest.readlines():
numTestVec += 1.0
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr =[]
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
if int(classifyVector(np.array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
errorCount += 1
errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
print("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
return errorRate
def multiTest():
numTests = 10; errorSum=0.0
for k in range(numTests):
errorSum += colicTest()
print("after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum/float(numTests)))
multiTest()
