第七章 对称矩阵和二次型
7.1 对称矩阵的对角化
如果$A$是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的.
一个$n×n$矩阵$A$可正交对角化的充分必要条件是$A$是对称矩阵.
谱定理：矩阵$A$的特征值的集合有时称为$A$的谱，关于$A$的特征值描述称为$谱定理$.
一个对称矩阵$n×n$矩阵具有下面特性：
- $A$有$n$个实特征值，包含重复的特征值.
- 对每一个特征值，对应特征子空间的维数等于$\lambda $作为特征方程的重数.
- 特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应不同特征值的意义下成立的.
- $A$可正交对角化.
谱分解：略
7.2 二次型
$\mathbb{R}^{n}$上的一个二次型是一个定义在$\mathbb{R}^{n}$上的函数，它在向量$x$处的值可由表达式$Q(x)=x^TAx$计算，此处$A$是一个$n×n$对称矩阵，且矩阵$A$称为关于二次型的矩阵.
最简单的非零二次型是$Q(x)=x^TIx=\left | x \right |^2$.
二次型的变量代换：如果$x$表示$\mathbb{R}^{n}$中的向量变量，那么变量代换就是$x=Py$或$y=P^{-1}x$，此处$P$是可逆矩阵且$y$是$\mathbb{R}^{n}$中的一个新变量，这里$P$的列可确定$\mathbb{R}^{n}$的一个基，$y$是相对于该基向量$x$的坐标向量.如果用变量代换处理二次型，那么$x^TAx=(Py)^TA(Py)=y^TP^TAPy=y^T(P^TAP)y$，且新的二次型是$P^TAP$，如果$P$可将$A$正交对角化，那么$P^T=P^{-1}$，且$P^TAP=P^{-1}AP=D$，新二次型矩阵是对角矩阵.
主轴定理：设$A$是一个$n×n$对称矩阵，那么存在一个正交变量变换$x=Py$，它将二次型$x^TAx$变换为不含交叉项的二次型$y^TDy$，矩阵$P$的列称为二次型$x^TAx$的主轴，向量$y$是向量$x$在由这些主轴构造的$\mathbb{R}^{n}$空间的单位正交基下的坐标向量.
二次型的分类：一个二次型$Q$是：
- 正定的，如果对所有$x\neq 0$，有$Q(x)> 0$.
- 负定的，如果对所有$x\neq 0$，有$Q(x)< 0$.
- 不定的：如果$Q(x)$既有正值又有负值.
此外，$Q$被称为半正定的，如果对所有$x$，$Q(x)\geqslant 0$；$Q$被称为半负定的，如果对所有$x$，$Q(x)\leqslant 0$.
根据特征值分类的二次型：设$A$是$n×n$对称矩阵，那么一个二次型是：
- 正定的，当且仅当$A$的所有特征值是正数.
- 负定的，当且仅当$A$的所有特征值是负数.
- 不定的，当且仅当$A$既有正特征值，又有负特征值.
7.3 条件优化
设$A$是对称矩阵，且$m$和$M$的为$m=min\begin{Bmatrix}x^TAx:\left | x \right |=1\end{Bmatrix},M=max\begin{Bmatrix}x^TAx:\left | x \right |=1\end{Bmatrix}$，那么$M$是$A$的最大特征值$\lambda _1$，$m$是$A$的最小特征值，如果$x$是对应$M$的单位特征向量$u_1$，那么$x^TAx$的值等于$M$，如果$x$是对应$m$的单位特征向量，$x^TAx$的值等于$m$.
设$A，\lambda_1$和$u_1$如上面的定理所示，在如下条件限制下$x^Tx=1,x^Tu_1=0$，$X_TAx$的最大值是第二大特征值$\lambda_2$，且这个最大值，可以在$x$是对应$\lambda_2$的特征向量$u_2$处达到.
设$A$是一个$n×n$对称矩阵，且其正交对角化为$A=PDP^{-1}$，将对角矩阵$D$上的元素重新排列，使得$\lambda_1\geqslant \lambda_2\geqslant \cdots \geqslant \lambda_n$，且$P$的列是其对应的单位特征向量$u_1,\cdots,u_n$，那么对$k=2,\cdots ,n$时，在以下限制条件下$x^Tx=1,x^Tu_1=0,\cdots ,x^Tu_{k-1}=0$，$x^TAx$的最大值是特征值$\lambda_k$，且这个最大值在$x=u_k$处可以
